Aritmetica
L'aritmetica è la scienza delle strutture numeriche.
Sistemi di numerazione
I sistemi primitivi di numerazione si limitavano a distinguere l'unità dalla coppia o forse anche dalla moltitudine. Sistemi più sofisticati furono introdotti dagli antichi Egizi e dai popoli di cultura mesopotamica. Il sistema egizio era a base 10, quello mesopotamico a basa 60. Il motivo della prevalenza dei sistemi numerici a base 10 è dovuto al fatto che l'uomo ha a disposizione arti superiori con 10 dita complessivamente.
Gli antichi sistemi di numerazione avevano il difetto di necessitare di un gran numero di simboli per rappresentare numeri anche piuttosto piccoli. Il problema fu superato intorno al 1200 con l'introduzione nella cultura occidentale dei sistemi posizionali arabi. La svolta fu l'introduzione di una cifra che mancava negli altri sistemi: lo zero. Con l'introduzione dello zero è stato possibile passare ad un sistema posizionale, cioè per rappresentare un numero qualsiasi sono necessari solo 10 simboli: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ed è la posizione che il simbolo occupa nel numero che ne determina il valore.
Con il sistema posizionale è stato possibile introdurre un gran numero di algoritmi di calcolo. E' possibile, cambiando la base di numerazione, ottenere dei sistemi di numerazione diversi:
- base 2: sistema binario (cifre 0,1)
- base 8: sistema ottale (cifre 0,1,2,3,4,5,6,7)
- base 16: sistema esadecimale (cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)
Questi sistemi sono molto utilizzati in campo informatico in quanto capaci di rappresentare gli stati elettronici dei circuiti (nel binario 0=circuito aperto, 1=circuito chiuso).
L'insieme dei numeri naturali (o interi)
I numeri naturali sono un insieme infinito formato da tutti i numeri interi positivi (0,1,2,3...)
La relazione di ordine in N è tale che 0<1<2<3<4<...
In questo insieme si possono definire alcune operazioni (leggi di composizione interna). Tali leggi si dicono interne se il loro unico risultato appartiene all'insieme stesso. Le operazioni sono:
- Addizione: la somma di due numeri naturali (addendi) è il numero naturale che si ottiene partendo dal primo e contando tutte le unità del secondo. Proprietà:
- associativa: la somma di più numeri naturali non cambia se a due di essi si sostituisce la loro somma es. 2+3+4=(2+3)+4=5+4=9;
- commutativa: la somma di due o più numeri non cambia se si cambia l'ordine degli addendi es. 2+4=4+2=6;
- esistenza dell'elemento neutro: esiste un valore che sommato ad un altro non en cambia il valore, lo zero, es. 0+6=6.
- Moltiplicazione: il prodotto di due numeri naturali (fattori) è la somma di tanti addendi, uguali al primo, quante sono le unità del secondo. La moltiplicazione gode delle proprietà:
- associativa: il prodotto di più numeri naturali non cambia se a due di essi si sostituisce il loro prodotto es. 3x4x5=(3x4)x5=12x5=60;
- commutativa: il prodotto di due numeri naturali non cambia se si cambia l'ordine dei fattori es. 3x5=5x3=15;
- distributiva rispetto all'addizione: il prodotto di un fattore per un fattore che si presenta come una addizione si ottiene sommando i prodotti del primo fattore per tutti gli addendi dell'addizione es. 2x(2+3+4)=2x2+2x3+2x4=18;
- esistenza dell'elemento neutro: esiste un valore che moltiplicato per un altro non ne cambia il valore, l'unità, es. 8x1=8;
- legge di annullamento del prodotto: se un fattore è nullo, allora il prodotto è nullo. Se un prodotto è nullo, allora almeno uno dei fattori è nullo.
-Sottrazione: la differenza tra due numeri naturali è il numero che aggiunto al secondo dà come risultato il primo. La sottrazione gode della proprietà:
- invariantiva: la differenza tra due numeri naturali non cambia se si somma o si sottrae uno stesso valore ad entrambi i termini della sottrazione es. 7-4=(7+1)-(4+1)=3
-Divisione: il "quoziente esatto" tra due numeri naturali è un numero che moltiplicato per il secondo dà il primo. In questo caso si dice anche che il primo è divisibile per il secondo. Il rpimo termine è detto dividendo, il secondo divisore. Il secondo termine della divisione non può essere mai nullo, infatti: 4:0 non ha senso. Situazione speciale è 0:0=?, ciò equivale a dire ?x0=0, ma qualunque numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0, pertanto questa divisione è detta indeterminata.
Se la divisione non dà un "quoziente esatto", si introduce il concetto di quoziente: il più grande numero naturale tale che moltiplicato per il secondo dà un prodotto minore del primo. Si definisce invece resto la differenza tra il dividendo e il prodotto tra il divisore e il quoziente. Quindi il dividendo D si ottiene come la somma del prodotto tra il divisore d e il quoziente q e il resto r: D=dxq+r con r
-Ordine delle operazioni: nel caso di calcoli con la presenza di più operazioni si segue sempre il seguente ordine: elevamento a potenza, moltiplicazione o divisione e infine addizione o sottrazione. Se è necessario modificare l'ordine precedente occorre usare le parentesi. Esse stabiliscono un ordine diverso per le operazioni che sono comprese tra loro. Esse vengono eseguite in questo ordine: parentesi tonde, parentesi quadre, parentesi graffe.
-Divisibilità: se esiste il quoziente esatto tra due numeri a e b si diche che a è multiplo di b oppure che a è divisibile per b o anche che b è divisore di a. Criteri di divisibilità: un numero è divisibile per
- 2 se la sua ultima cifra è pari;
- 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3;
- 4 se le ultime due cifre costituiscono un numero multiplodi 4 oppure sono 00;
- 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5;
- 9 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 9;
- 10 se la sua ultima cifra è 0;
- 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quelle di posto dispari è un multiplo di 11 oppure è nulla;
- 13 se le ultime due cifre costituiscono un numero multiplo di 25 oppure sono 00.
Un numero è detto primo se ha per divisori solo se stesso e l'unità. Due numeri sono detti primi tra loro se hanno come divisore comune solo l'unità.
Il Massimo Comune Divisore (MCD) tra due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. Per determinare il massimo comune divisore tra due o più numeri si scompongono questi in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni scelti, presi una sola volta, con mino esponente. es. MCD(30,40,50); 30=1x2x3x5, 40=1x2x2x2x5, 50=1x2x5x5, MCD=1x2x5=10
Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri dati. Per determinare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si scompongono questi in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente. es. mcm(4,5,6); 4=1x2x2; 5=1x5; 6=1x2x3; mcm=2x2x3x5=60
L'insieme dei numeri interi relativi
Affinchè l'operazione di sottrazione sia sempre possibile si introduce l'insieme dei numeri relativi (...-2,-1,0,1,2,...)
Questo insieme si ottiene dotando ogni elemento di N di un segno positivo (+) o negativo (-). La relazione di ordine che si introduce è coerente con quella dei numeri naturali: ...<-2<-1<0<1<2<...
L'opposto di un elemento di Z è l'elemento stesso preso con il segno opposto.
Il valore assoluto di un numero intero relativo si definisce come il numero stesso se esso è positivo, l'opposto se esso è negativo. Il valore assoluto è sempre positivo. Due interi relativi si dicono concordi quando hanno lo stesso segno, discordi quando hanno segno opposto.
Le operazioni che è possibile effettuare nel campo dei numeri naturali, possono essere estese anche all'insieme dei numeri interi relativi. Le proprietà delle operazioni (+,-,x,:) enunciate in N si conservano in Z, ma è necessario aggiungerne una:
- esistenza dell'opposto: per l'addizione; per ogni numero di Z esiste un altro numero che sommato al primo dà come risultato 0.
L'insieme dei numeri razionali
Per rendere la divisione una legge di composizione interna occorre estendere l'insieme Z. Questo nuovo insieme, indicato con Q, è formato da elementi detti numeri razionali. Introduciamo il concetto di frazione, cioè a/b, con a e b appartenenti a Z, essa rappresenta il quoziente tra a e b. La frazione si legge "a fratto b", a è chiamato numeratore, b denominatore. Per essa valgono le proprietà enunciate in Z ed in N, quindi b deve essere non nullo: a/0 è impossibile, 0/0 è indeterminata.
Poichè la proprietà invariantiva della divisione è valida allora a/b=(axc)/(bxc) qualunque sia c non nullo appartenente a Z. Infinite frazioni possono rappresentare lo stesso quoziente, quindi vengono dette equivalenti e formano un insieme detto classe.
Quando si opera su di una frazione fino a rendere i suoi termini primi tra loro, cioè dividendo i termini della frazione per il loro MCD, si dice che la frazione è irriducibile o ridotta ai minimi termini; questa operazione è detta semplificazione.
Per confrontare due frazioni è necessario che esse abbiano lo stesso denominatore, infatti sarà maggiore la frazione con numeratore maggiore. Per confrontare due frazioni che hanno diverso denominatore è necessario trasformarle in frazioni equivalenti che abbiano lo stesso denominatore.
Valgono le proprietà definite per Z, ma ad esse se ne aggiunge una:
- esistenza del reciproco: dato un razionale non nullo, esiste un razionale che moltiplicato per il primo dà 1. Quel razionale è detto reciproco e si ottiene invertendo il numeratore con il denominatore del razionale dato.
Decimali. Se, data una frazione, si procede al calcolo del quoziente, possono presentarsi due casi:
- il quoziente è un decimale limitato es. 3/4=0,75, il resto è nullo;
- il quoziente è un decimale illimitato periodico: in questo caso si possono presentare due eventualità:
a- periodico semplice, cioè dopo la virgola c'è un gruppo di cifre che si ripete all'inifinto (periodo), es. 1/3=0,333333...;
b- periodico misto, cioè tra la virgola e il periodo è presente un gruppo di altre cifre (antiperiodo), es. 941/300=3,136666666...<
L'insieme dei numeri reali
Per rendere completo l'insieme Q bisogna estendere l'insieme dei numeri razionali con un altro che lo contiene, l'insieme dei numeri reali.
L'insieme dei numeri reali R è formato dall'insieme dei razionali Q e quello degli irrazionali I, cioè quelli che non possono essere messi sottoforma di frazione.