Poligoni

Una poligonale è un insieme di segmenti consecutivi. Gli estremi dei segmenti sono detti vertici, i segmenti stessi sono detti lati. Una poligonale è chiusa quando l'estremo libero del primo segmento coincide con l'estremo libero dell'ultimo segmento, altrimenti viene detta aperta. Se i segmenti non consecutivi di una poligonale hanno uno o più punti in comune la poligonale si dice intrecciata.
Un poligono è la figura formata da una poligonale chiusa non intrecciata. Un poligono si dice concavo quando è attraversato dal prolungamento di uno dei lati, altrimenti è detto convesso. Un poligono ha un numero di vertici e di lati sempre uguale, perciò si classificano a seconda del numero dei lati: triangolo (3), quadrilatero (4), pentagono (5), esagono (6), ecc.
Un poligono si dice equilatero se ha tutti i lati congruenti tra loro, si dice equiangolo quando ha tutti gli angoli congruenti tra loro. Un poligono è regolare quando è sia equilatero che equiangolo.

Triangoli
Sono considerati i poligoni più importanti per tre motivi:
- sono i poligoni più elementari;
- i poligoni possono essere scomposti facilmente in triangoli;
- i triangoli, specialmente quelli rettangoli, possiedo proprietà peculiari.
Classificazione sulla base dei lati:
- equilatero: tutti e tre i lati congruenti;
- isoscele: due lati congruenti;
- scaleno: i lati sono tutti diseguali.
Classificazione sulla base degli angoli:
- acutangolo: ha tre angoli acuti;
- rettangolo: ha un angolo retto. I lati si chiamano ipotenusa, quello che si oppone all'angolo retto, e cateti gli altri;
- ottusangolo: ha un angolo ottuso.
In un triangolo si chiama altezza il segmento condotto da un vertice e perpendicolare al lato opposto; si chiama mediana il segmento condotto da un vertice al punto medio del lato opposto.
La congruenza tra due triangoli può essere stabilita mediante tre criteri:
- se hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo tra loro compreso;
- se hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra loro compreso;
- se hanno rispettivamente congruenti tre lati.

Teorema sulle rette parallele Se due rette sono parallele, tagliate da una trasversale formano:
- coppie di angoli alterni interni congruenti;
- coppie di angoli corrispondenti congruenti;
- coppie di angoli coniugati supplementari.
Da questo teorema si deduce che:
- se due rette sono parallele, ogni perpendicolare all'una è perpendicolare all'altra;
- se due rette sono parallele tutti i punti dell'una sono equidistanti dall'altra.
Applicando il teorema ai triangoli si può dimostrare che:
- in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. Vale anche il viceversa;
- in un triangolo isoscele la bisettrice, la mediana, l'altezza relative alla base sono coincidenti;
- in un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due;
- la somma degli angoli di un triangolo è congruente ad un angolo piatto.

Quadrilateri
Assumono nomi diversi a seconda delle caratteristiche che li contraddistinguono.

Trapezio. Quadrilatero che ha due lati paralleli (basi). Se i lati che non sono paralleli (obliqui) sono congruenti, il trapezio è detto isoscele. Se uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi, il trapezio è detto rettangolo. Si dimostra che:
- in un trapezio isoscele gli angoli alla base sono uguali. Vale anche il viceversa;
- in un trapezio isoscele gli angoli opposti sono supplementari.

Parallelogrammo. Quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. Un parallelogrammo ha:
- le due diagonali che si bisecano;
- ciascuna diagonale divide il parallelogrammo in due triangoli congruenti;
- i lati opposti sono congruenti;
- gli angoli opposti sono congruenti;
- gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari.
Vale anche il viceversa, cioè, se un quadrilatero gode delle proprietà sopra elencate, allora è un parallelogrammo.
Rettangolo: parallelogrammo avente gli angoli retti; le diagonali sono congruenti.
Rombo: parallelogramma che ha i lati congruenti; le diagonali sono perpendicolari tra loroe sono bisettrici degli angoli.
Quadrato: parallelogramma equilatero ed equiangolo; le diagonali sono congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli.
Si dice luogo geometrico l'insieme dei punti che godono di una determinata proprietà.

Poligoni inscritti e circoscritti
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza, a sua volta la circonferenza è detta circoscritta al poligono.
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza, a sua volta la circonferenza è detta inscritta nel poligono.

Punti notevoli di un triangolo:
- i tre assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto circocentro;
- le tre altezze di un triangolo passano per uno stesso punto detto ortocentro;
- le tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto detto incentro;
- le tre mediane di un triangolo passano per uno stesso punto detto baricentro.

Teoremi fondamentali:
- quando un poligono è inscritto in una circonferenza, il centro coincide con il punto di intersezione degli assi. Se il poligono è un triangolo il centro coincide con il circocentro.
- quando un poligono è circoscritto ad una circonferenza, il centro coincide con il punto di intersezione delle bisettrici. Se il poligono è un triangolo il centro coincide con l'incentro.
- tutti i poligoni regolari si possono sia inscrivere che circoscrivere ad una circonferenza.
- un triangolo inscritto in una circonferenza con un lato coincidente col diametro è rettangolo.